Ik ben bij lange na geen rekenwonder. Bij getallen boven de 4892 haak ik al vrij rap af en ik ben minstens een minuut aan het hoofdratelen op simpele sommetjes als 114 – 97. Toch smeult er een vuurtje in mij dat hevig kan oplaaien waar het de onderliggende concepten van de wiskunde betreft.

Zo ben ik een tijdje geleden weer eens hergeïnteresseerd geraakt in priemgetallen. Priemgetallen zijn echt hele rare dingen. Vooral omdat ze er zo normaal uitzien. Totdat je ze probeert open te snijden en ze net zo op gewone getallen blijken te lijken als de kleuren van de regenboog op wit licht.

Ondeelbaar

Het begint allemaal met erwtjes. (Erwwwtjes, wat is dat voor bespottelijk woord? Flippo’s mag ook. Of jujubes.) Neem twaalf mariakaakjes. Leg ze in een rechthoek. Twee bij zes, drie bij vier, mag allemaal.

Probeer hetzelfde bij 13. Dat gaat dus niet. Dertien contactlenzen zijn op geen enkele manier in een rechthoek te leggen: je komt steeds tekort of je hebt te veel:

Het enige wat je met 13 kunt is een lijn leggen, van 1 bij 13 of 13 bij 1:

En daar zit hem het belangrijke verschil. De wereld van natuurlijke getallen (1, 2, 3, 4, 5, etcetera) is onder te verdelen in twee supercategorieën: ‘rechthoek’-getallen zoals 12, en ‘lijn’-getallen zoals 13, beter bekend als priemgetallen. Rechthoekgetallen kun je delen door andere getallen. Priemen niet: die zijn alleen maar deelbaar door zichzelf of 1, verder door niks of je krijgt een breuk.

Ongrijpbaar

Dit ogenschijnlijke onbenulligheidje verleent priemgetallen een intrigerende ongrijpbaarheid. Precies omdat je ze niet kunt delen kun je ze ook niet voorspellen. Het is van tevoren niet te zeggen of een getal priem is of niet: de enige manier om daar achter te komen is stomweg alle lagere getallen langslopen en kijken of je je kandidaat erdoor kunt delen.

Voor een getal als 21 is dat nog wel te doen. Deelbaar door 2? Nee. Deelbaar door 3? Ja. Niet priem dus. Bij 101 is het al beduidend meer gedoe. Deelbaar door 2? Nee. Deelbaar door 3? Nee. […] Deelbaar door 99? Nee. Deelbaar door 100? Nee. Priem dus! Allemachtig zeg. Zelfs met de kennis dat u de even getallen mag overslaan (die zijn immers altijd deelbaar door 2) kunt u zich voorstellen dat dit boven de 2305843009213693951 een beetje tijdrovend proces wordt.

En toch is er, enkele ruwe handgrepen daargelaten (klik bijvoorbeeld op de animatie hierboven), geen simpeler methode. Computers doen het rapper dan mensen, maar zijn uiteindelijk tot dezelfde dommekrachtsmethode veroordeeld: elk nieuw getal moet apart op priemheid worden getest. Projecten als GIMPS ontdekken eens in de paar jaar een nieuwe priem, zo traag gaat het. De hoogst bekende is momenteel 2^43112609 – 1 (hij is wat te groot om voluit te schrijven); u kunt zelf mee helpen zoeken naar de volgende en uw 40.000 dollar vindersloon spontaan doneren aan bloggers die leuke stukjes over priemgetallen schrijven.

Uniek

Goed, je kunt ze niet delen, vermenigvuldigen kun je priemen uiteraard wel. Het resultaat is dan natuurlijk per definitie een niet-priem: de uitkomst van een vermenigvuldiging is immers deelbaar door de getallen die je zojuist met elkaar hebt vermenigvuldigd.

Op deze manier kun je nieuwe getallen bouwen. Dit lijkt flauw: met niet-priemen kun je dat immers even goed? Maar daar zit hem de gein: met priemen kun je niet zomaar een beetje getallen bouwen, maar alle andere natuurlijke getallen die er zijn.

Hoebedoelu? Wel: neem maar eens een willekeurig niet-priemgetal. 15 is goed, of 18, of 84, of 1848. Een laag getal is makkelijker, maar het werkt net zo goed bij hogere. Herschrijf nu dat getal als een vermenigvuldiging van priemen. Voor 15 wordt dat bijvoorbeeld 3 x 5, allebei priemen. 18 is evenzo te herschrijven als 2 x 2 x 3 (eenzelfde priem mag meermalen voorkomen). 84 wordt 2 x 2 x 3 x 7; 1848 is 2 x 2 x 2 x 3 x 7 x 11. De onderlinge volgorde van de priemen doet er niet toe.

Wat u hier aan het doen bent heet het ontbinden van getallen in priemfactoren (kortweg factoren). Probeer het bij welk niet-priemgetal u maar wilt: u zult merken dat het altijd herschrijfbaar is als een product van priemen. Misschien twee priemen, misschien vijfenzestig, maar het gaat altijd op. Niet-priemgetallen heten hierom ook wel samengestelde getallen: samengesteld uit priemen.

Dat je elk willekeurig getal zo in factoren kunt ontbinden is op zich al tamelijk opmerkelijk (gezien het feit dat er oneindig veel getallen zijn), maar het wordt nog curieuzer. Neem dezelfde getallen als daarnet, en probeer ze nu eens op een àndere manier in priemen te ontbinden. Toe, probeer het maar.

Dat gaat dus niet! 15 heeft als enige priemfactoren 3 en 5; 18 heeft alleen 2, 2 en 3. De enige manier om 84 te ontbinden is 2 x 2 x 3 x 7; 1848 is alleen op te hakken als 2 x 2 x 2 x 3 x 7 x 11.

Wat we hier bij de kladden hebben is niet enkel-, maar dubbelvoudig speciaal. Welk getal u ook neemt, of het nu 6 is of 288 of 999999991 of honderd miljoen miljard, het zal a) altijd te ontbinden zijn in priemen, en b) ook alleen maar in die specifieke priemen!

Dit is echt best wel apart. Er is onder alle natuurlijke getallen die bestaan (alle ∞ dus) niet één dat niet als priemen is te schrijven, en niet één dat stiekem twee oplossingen heeft. Niet eentje. Carl Friedrich Gauss heeft het bewezen: Elk natuurlijk getal kan op slechts één manier geschreven worden als een product van priemgetallen. Doe dat maar eens na, zo’n bewijs leveren terwijl we niet eens weten waar de eerstvolgende priem zal opduiken. Deze ontdekking is dermate fundamenteel dat het de Hoofdstelling van de Rekenkunde wordt genoemd.

Dit filmpje legt het nog eens uit, en beantwoordt meteen uw brandende vraag waarom 1 geen priem is:

Fundamenteel

Begint u een beetje te vatten waarom ik priemen echt hele rare dingen noemde? Hier hebben we een zootje ongrijpbare, onvoorspelbare nonconformisten van getallen—we snappen ternauwernood waarom ze er überhaupt zijn—en dat loopt doodleuk het fundament van alle natuurlijke getallen te wezen!

Er is geen enkele reden waarom dit zo zou moeten zijn, en toch is het zo. Priemen zijn ondeelbaar en tegelijk de bouwstenen waar al het andere van is gemaakt.

Dit maakt ze letterlijk tot de atomen (ἄτομος: ‘niet-deelbaar’) van de getallenwereld. Elk samengesteld getal is als een molecuul met zijn eigen unieke opbouw uit niet verder te splitsen priem-atomen. Zie bijvoorbeeld de samengestelde getallen hieronder: 14 bestaat uit de priemen twee en zeven; 45 uit drie, drie en vijf; 288 uit vijf tweeën en twee drieën. Vermenigvuldig de atomen en zie het voor uzelf.

Of je breit er een factortrui van. Kan ook.

Smaak- en kleurrijk

Op school wordt ons geleerd dat getallen iets zijn met een grootte. Zeven is groter dan zes, tweeëndertig is kleiner dan achtduizendvier, en daarmee is de kous wel zo’n beetje af. Maar dat die grootte een getal de fascinerendste karaktertrekken meegeeft wordt er doorgaans niet bij verteld. Aan de ingewanden van de getallen wordt gevoeglijk voorbijgegaan, terwijl daar nou net de magie zit. Hoeveel bloemrijker is het om getallen niet te zien als saaie punten op een lijn, maar als stuk voor stuk unieke toverballen met evenzoveel unieke smaken en kleuren!

Dat is wat priemgetallen zijn: de smaken en kleuren van de getallenwereld. Ze zijn nog veel meer. Maar daarover vertel ik de volgende keer. Binnenkort* deel 2 van deze miniserie!

* Openbaring 22:7. Verder nog vragen? Oh.