Gulden Cactus

Ja, je léést dat nou altijd wel, dat van die Gulden Snede in zonnebloemen, waterjuffers en de Mona Lisa, maar het blijkt dus ook gewoon regelrecht te kloppen. Hier, een cactus van bij ons thuis:

Zie? Een radiale constellatie van ribben met daarop stekelclusters, hier voor de duidelijkheid aangegeven in groen respectievelijk rood:

Het aantal ribben is 13 zozuziet: een Fibonaccigetal, dus dat begint al goed. Maar de crux zit hem in de verdeling van de stekels.

Ga in het centrum van de ribben staan en zoek de stekel die er het dichtst bij ligt. Zoek dan de op-één-na dichtstbijzijnde stekel, gevolgd door de op-twee-na-dichtstbijzijnde, etcetera. Al gauw zult u merken dat u een uitwaartse spiraal linksom volgt, telkens een verder van het centrum verwijderde stekel passerend. Hieronder zijn de eerste veertien stekels aangegeven, maar u kunt het proces voor de hele cactus voortzetten:

U ziet het misschien niet meteen in die zee van getalletjes, maar wat u nu geconstrueerd heeft vertoont een consciëntieuze regelmaat. Tel maar eens het aantal ribben die u moet afleggen om van een stekel naar de volgende te komen. Precies, dat zijn er zonder uitzondering vijf. Of acht, als u via de lange kant telt. Herkent u de getallen? Jazeker: ook 5 en 8 behoren tot Fibonacci’s reeks. Deel 5 door 8 en u krijgt een benadering van de Gulden Snede. Deel 8 door 13 en u krijgt een betere.

En daar zijn we dan! De hoek tussen twee opeenvolgende stekels is telkens 5/13 van de gehele cactus, oftewel bij benadering één-guldensnedenste van een cirkel, beter bekend als de Gulden Hoek:

Voilà! Is dat nou niet wonderbaar? Goddelijke verhoudingen in je eigen plantenbak.

Waarom doet zo’n cactus dit? Simpel: het is de meest optimale verhouding tussen twee conflicterende prioriteiten: 1) zo veel mogelijk stekels op een zo klein mogelijk oppervlak; 2) zo veel mogelijk groeiruimte voor elke afzonderlijke stekel. Te veel groeiruimte en je hebt te weinig stekels, te veel stekels en je krijgt te weinig groeiruimte. De Gulden Snede geeft het beste van twee kanten.

Meer weten? Jaaa, u wilt meer weten hè, ik zie het wel. Nou, ga hier eens kijken bijvoorbeeld, of hier (met verhelderend interactief appje). Of leun eens lekker achterover en aanschouw Nature by Numbers van Cristóbal Vila [vanaf 1:40 ziet u de Gulden Hoek in actie]: