Pret met polyeders

Veelvlakken

Van de zomer was ik in Wrocław op de Internationale Taalkunde-Olympiade, waar Piotr Pawlikowski een toffe lezing gaf over veelvlakken (polyeders) en hun namen. Die zotte Pool heeft alle uniforme veelvlakken nagebouwd, en hij had ze allemaal bij zich. De kleinste was vier centimeter, de grootste naar schatting zestig.

Ik heb altijd al iets met polyeders gehad. Weet ook niet waarom; ze hebben iets magisch, zegt men dan bij gebrek aan cliché’s. Ongetwijfeld heeft Escher een ferme vinger in mijn pap gehad.

Hoe het zij, op Mathworld kun je je uitgebreid vergapen aan die wondere dingen en je middagen vermaken met de blij gekleurde applicatietjes om ze rond te draaien. De meest buitenaardse vormen kom je tegen, en ze hebben allemaal een naam. Zoals ‘Kleine Icosacrone Hexacontaëder‘, of ‘Parabigyrate Rombicosidodecaëder‘. Die zien er zo uit:

Ga maar eens een zwengel* aan een paar van die dingen geven, gegarandeerd dat u er kinderlijk blij van wordt.

* Update 2016: Dat kan om de een of andere reden niet meer tegenwoordig. Zal iets met Html5 of Javadinges te maken hebben, of Obamacare. Jammer.

De rombische dodecaëder

Vandaag wil ik mijn schijnwerpers richten op een van de wat nederiger veelvlakken, dat nochtans bijzondere eigenschappen heeft: de Rombische Dodecaëder, oftewel een twaalfvlak met ruitvormige vlakken:

Wat maakt dit vormpje zo speciaal? Daarvoor moet ik een uitstap maken naar appels. Of enig ander min of meer bolvormig gewas dat in kratten in de supermarkt ligt.

U kent ze wel: van die kratten met van die voorgevormde stukken (schuim)plastic erin met deuken waar de appels in kunnen. En welk patroon hebben die deuken meestal? Precies: een zeshoekig patroon:

     

Waarom is dat? Elke bij weet het antwoord: een zeshoekig patroon is de beste manier om een vlak zo vol mogelijk met cirkels te vullen met zo min mogelijk bouwmateriaal. Alles in de natuur wat te maken krijgt met cirkelvormige dingen in een vlak proppen zal een zeshoekig patroon proberen aan te nemen. Honingraten, zeepbellen, de pukkels van het gilamonster, etc. Het is gewoon het meest efficiënt.

Goed. Tot zover duidelijk. Maar tot dusver hebben we het gehad over tweedimensionale vlakken. Maar wat nu als we een driedimensionale ruimte zo efficiënt mogelijk met driedimensionale cirkels (oftewel bollen) willen vullen? Hoe gaan we dan te werk?

Inderdaad: wij stapelen:

Wij leggen op de eerste – zeshoekige – laag sinaasappels precies net zo’n laag, maar dan zo dat elke sinaasappel komt te rusten in het ‘putje’ dat door de drie onderliggende sinaasappels wordt gevormd. En zo voort. Oh, op Wikipedia hebben ze een leuk gifje, kijk:

Dit nu, de ‘piramide-stapeling’, is de allerefficiëntste manier om een ruimte op te vullen met ballen. Kepler (bekend van de wetten van Kepler) had dit al door, maar het duurde even voor het ook bewezen was. Voor de nader geïnteresseerden: lees Kepler’s Conjecture van George Szpiro, of google een beetje in het rond op ‘sphere packing‘.

Maar

Maar: zo efficiënt is het niet, dat ballen stapelen. U zult evenals elke fruithandelaar hebben opgemerkt dat het stikt van de loze ruimte tussen die sinaasappels. Daar kunnen nog hele partijen illegale smokkelwaar tussen, zeg maar. Zou het niet handiger zijn als die pomelo’s een vorm hadden die geen ruimte over liet? Zegmaar het driedimensionale equivalent van de zeshoek? Welke vorm zouden de limoenen krijgen als je ze zo hard mogelijk kon aanpersen? U raadt het al: jazeder! De Rombische Dodecaëder!

De Rombische Dodecaëder is de efficiëntste op één na efficiëntste* ‘space filler‘ die er is. Kijk maar, naadloos:

 

En kijk nou nog eens naar die honingraat?)

Dat zijn geen zeshoeken, dat zijn… precies. De natuur is overal. Zelfs in de wiskunde.

*Update 22-10-2009:

Verscheidene wijze lieden gaven mij de repliek: jamaar, je kunt toch net zo goed een space fillen met kubussen? Jazeker kan dat, en het kan ook met zeshoekige prisma’s, gyrobifastigia, verlengde sfenoïde endecaëders en nog zo wat. Ik heb ook niet beweerd dat de rombische dodecaëder de enige space filler is, alleen maar een heel efficiënte, dat wil zeggen, met een zo groot mogelijk volume bij een zo klein mogelijk oppervlak. De kubus voldoet uitermate slecht aan dat criterium: per kubieke meter ruimte heb je zes vierkante meter bouwmateriaal nodig; bij de rombische dodecaëder is dat slechts iets meer dan vijf. (Vind de details in dit leuke artikel over modulaire architectuur.) Er is er maar één vorm nog net een miniem tikje efficiënter: de afgeknotte octaëder:

Maar die heeft geen gelijkvormige vlakken, dus die is minder cool.